Propiedades de Logaritmos

Demostración.

Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial (presentadas en clase).

Sea  .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad.

Esto es ,  ( 1 ) 

En segundo lugar , nuevamente por la definición ,  0

Es decir ,  ( 2 ). 

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que 

Sea  , entonces : 

( 1 ). 

( 2 ). 

De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : 

Es decir , 

7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean :  .Se prueba que 

En efecto ,si  ,y como a > 1 ,se tendría que , es decir ,  en contradicción con la hipótesis. 

Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. 

Ojo*….

i ) La igualdad , dada en la propiedad, es también válida para b < 0 . 

ii) Las propiedades de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades de los exponentes, ponen
   de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma
   base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es. 

iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número
    e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se
    denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son
    los  correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan
     por  o,   simplemente, Log x.
Ejemplo.

Pruebe  que si a > 0 , a y x > 0 ,entonces,  .   ..

SOLUCIÓN

Suponga que  (1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que  (2). De (2), se deduce que  . Pero ,  (3). De (1) y (3), se concluye que : 

 

Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones , en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. 

En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas  .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x. 

fig 3fig 4

  fig.5

Referencias http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/2.2.html

1 comentario (+¿añadir los tuyos?)

  1. Elisa Schaeffer
    Jul 04, 2011 @ 13:10:11

    Bien; te pongo 7 puntos por esta entrada.

    Responder

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